Das Haus des Nikolaus - Oder Mathematik einmal ganz anders

Die meisten kennen das Haus des Nikolaus, das es in einem Zug zu zeichnen gilt:

Man erkennt sehr schnell, dass dies möglich ist, wenn man in einer der beiden unteren Ecken beginnt und in der anderen aufhört.
Nun wollen wir aber eine Herausforderung anbieten: Bekanntlich schafft ein Nikolaus allein die ganze Arbeit an einem Tag nicht, also muss es mehrere "Nikoläuse" geben. Zwei davon wohnen in einem Reihenhaus.

Kann das auch in einem Zug gezeichnet werden, ohne dass eine Linie doppelt gezeichnet wird? Mehrere Versuche scheitern. Manche schummeln und zeichnen die Trennwand doppelt. Wir stellen fest, auf ehrliche Weise geht es nicht. Wenn sich nun die beiden Nikoläuse gut verstehen und auf die Trennwand verzichten, geht es, wenn man wiederum in einer unteren Ecke beginnt.

Wir untersuchen weitere Abwandlungen des Nikolaushauses (Turm, Rakete zur Rückkehr nach getaner Arbeit):

Manche Bilder lassen sich in einem Zug zeichnen, manche nicht. Bei einer Figur kann sogar an jeder beliebigen Stelle begonnen werden.

An diesem Thema läßt sich schön das Vorgehen bei mathematische Beweisen zeigen. Wer der Meinung ist, eine Figur lasse sich gemäß der Regeln zeichnen, braucht es ja nur vorzuführen. Schwieriger ist es, die Unmöglichkeit des Zeichnens in einem Zug zu beweisen. Als Beweis zählt natürlich nicht, wenn es keiner schafft, dazu sind andere Überlegungen notwendig.

Es geht nun folglich darum, ohne vorheriges Probieren erkennen zu lernen, welche Bilder in einem Zug zu zeichnen sind und welche nicht und wo gegebenenfalls begonnen werden muss. Dazu sehen wir uns alle Stellen an, an denen mehr als zwei Linien zusammenlaufen und nennen diese Konten. Da zu folgendem Knoten 6 Linien führen nennen wir ihn 6er-Knoten:

Da die Figur in einem Zug zu zeichnen ist, muss in jeden Knoten jede Linie, die hinein führt, wieder heraus führen, es dürfen also nur "gerade" Knoten vorkommen. Mit einer Ausnahme: Da wir die Figur an einer Stelle beginnen und an einer anderen beenden dürfen, können zwei ungerade Knoten vorkommen.

Wir betrachten also nochmals alle Figuren hinsichtlich ihrer Knoten. Gibt es mehr als 2 "böse" Stellen (ungerade Knoten) kann die Figur nicht in einem Zug gezeichnet werden. Gibt es zwei Knoten muss an dem einen begonnen werden und am anderen aufgehört werden. Da jede Figur auch rückwärts gezeichnet werden kann, spielt es dabei keine Rolle, welcher Punkt als Start- und welcher als Endpunkt gewählt wird. Hat eine Figur nur gerade Knoten kann sie an jeder beliebigen Stelle, also auch in der Mitte einer Linie, begonnen werden.

Besonderer Dank ...

... an Helmut Pritschet, der mir diesen Text zur freien Verfügung gestellt hat, wodurch ich ihn auch ein wenig anpasssen konnte. Besuchen Sie doch mal seine Homepage unter transvesting.de!